Polinomial - Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas

Dalam bidang matematik, polinomial ialah sejumlah ungkapan yang menggunakan pembolehubah bereksponen integer yang berpasangan dengan suatu pekali berinteger.

Sebagai contoh, $3x^{2}-4x+7$ adalah sebuah polinomial, dimana $x$ adalah pembolehubah, $+3$ dan $-4$ adalah pekali dan $+7$ adalah pemalar. Secara am, bentuk umum bagi suatu polinomial adalah:

${c_{n}}x^{n}+{c_{n-1}}x^{n-1}+{c_{n-2}}x^{n-2}+\cdots +c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+x_{1}x+c_{0}$

Dimana $x$ adalah pembolehubah, $c_{n}$ adalah pekali dan $n$ adalah eksponen pembolehubah.

Klasifikasi polinomial

Jenis polinomial

Jenis polinomial diklasifikasi berdasarkan bilangan ungkapannya. Terdapat 4 jenis polinomial:

Monomial
Binomial
Trinomial
Polinomial lebih daripada 3 ungkapan.

Monomial merupakan polinomial yang hanya mempunyai satu ungkapan. Sebagai contoh, $2xy$ , $-4z$ , $9a$ . Istilah monomial juga ditukar dengan perkataan ungkapan. Perkataan monomial datang dari gabungan kata awalan bahasa Yunani mono- yang bermaksud "satu" dan perkataan nomen yang bermaksud "nama". Semua polinomial dibuat daripada jumlah-jumlahan monomial.

Binomial merupakan polinomial yang mempunyai dua ungkapan. Sebagai contoh, $3x+4y$ , $7x^{2}+5x$ , $8a-9k$ . Perkataan binomial datang dari gabungan kata awalan bahasa Latin bi- yang bermaksud "dua" dan perkataan nomen yang bermaksud "nama". Terdapat beberapa hukum yang berkaitan dengan binomial, yang paling dikenali adalah:

$(x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}$ , dimana $x,y\in \mathbb {R}$
$(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ , dimana $x,y\in \mathbb {R}$

Juga, binomial $(x+y)^{2}$ boleh dikembangkan untuk eksponen berinteger yang lebih daripada $2$ . Ini dicapai dengan teorem binomial:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$

dimana $x,y\in \mathbb {R}$ , $n,k\in \mathbb {Z} ^{+}$ dan ${\binom {n}{k}}$ adalah gabungan $k$ dipilih dari $n$ .

Ia juga dinotakan bahawa pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial tersebut bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris- $n$ di segi tiga Pascal.

Trinomial adalah polinomial yang mempunyai tiga ungkapan. Seperti etimologi monomial dan binomial, perkataan trinomial datang dari gabungan perkataan nomen yang bermaksud "nama" dan kata awalan bahasa Inggeris tri-, yang bermaksud "tiga". Juga, ia wujud cara untuk mengembangkan suatu trinomial seperti pengembangan binomial, iaitu menggunakan pengembangan trinomial:

$(a+b+c)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}$

Sama seperti bagaimana pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris- $n$ di segi tiga Pascal, pekali bagi setiap ungkapan di kembangan trinomial bersempadan kepada nombor datar- $n$ susunan bentuk 3D piramid Pascal.

Darjah polinomial

Darjah polinomial merupakan nilai yang mewakili eksponen pembolehubah tertinggi dalam suatu polinomial.

Sebagai contoh, darjah polinomial bagi $2x^{3}+7x^{2}-8x+3$ adalah $3$ , kerana $3$ adalah eksponen pembolehubah $x$ tertinggi.

Nama polinomial

Nama polinomial dinamakan berdasarkan darjah polinomialnya. Ini adalah senarai nama bagi beberapa darjah polinomial pertama, serta bentuk polinomial:


Darjah polinomial	Nama / Jenis polinomial	Bentuk polinomial
0	pemalar	$c_{0}x^{0}=c_{0}$
1	linear	$c_{1}x+c_{0}$
2	kuadratik	${c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$
3	kubik	${c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$
4	kuartik	${c_{4}}x^{4}+{c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$
5	kuintik	${c_{5}}x^{5}+{c_{4}}x^{4}+{c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$
6	sekstik	${c_{6}}x^{6}+{c_{5}}x^{5}+{c_{4}}x^{4}+{c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$
$n$	...	${c_{n}}x^{n}+{c_{n-1}}x^{n-1}+{c_{n-2}}x^{n-2}+\cdots +c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+x_{1}x+c_{0}$

Solusi bagi polinomial

Rumus-rumus

Bentuk persamaan linear: $ax+b=0$

Solusi: $x=-{\frac {b}{a}}$

Bentuk persamaan kuadratik: $ax^{2}+bx+c=0$

Solusi: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Bentuk persamaan kubik: $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Solusi:

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {b}{3a}}\\&\quad -{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\\&\quad -{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{2}&=-{\frac {b}{3a}}\\&\quad +{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\\&\quad +{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{3}&=-{\frac {b}{3a}}\\&\quad +{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\\&\quad +{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}$

dimana $i$ adalah unit khayalan.

Bentuk persamaan kuartik: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Solusi:

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {Q}}\\x_{2}&=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {Q}}\\x_{3}&=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {R}}\\x_{4}&=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {R}}\end{aligned}}$

dimana:

${\begin{aligned}P&={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {2c}{3a}}+S}}\\Q&={\sqrt {{\frac {b^{2}-4ac+4aS}{2a^{2}}}-T}}\\R&={\sqrt {{\frac {b^{2}-4ac+4aS}{2a^{2}}}+T}}\\S&={\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\T&={\frac {b^{3}}{a^{3}}}-{\frac {4bc}{a^{2}}}+{\frac {8d}{a}}\end{aligned}}$

Hampiran numerikal

Mengikut teori Galois, tiada wujud rumus penyelesaian kepada persamaan polinomial dengan darjah polinomial melebihi 4 dengan menggunai operasi asas aritmetik. Oleh itu, hampiran numerikal digunakan untuk cari solusi bagi persamaan tersebut.

Sifat-sifat

Hasil tambah polinomial juga polinomial.
Hasil darab polinomial juga polinomial.
Terbitan fungsi polinomial juga polinomial. Terbitan $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ ialah $na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}$ .
Antiterbitan fungsi polinomial juga polinomial. Antiterbitan $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ ialah ${\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c$ .

Aritmetik

Hukum sekutuan boleh diguna pakai dalam penambahan dan penolakan dua polinomial, yakni mengumpul dan menggabungkan pekali bagi pemboleh ubah berdarjah sepadan. Hukum agihan pula digunakan dalam pendaraban dua polinomial.

Pembahagian dua polinomial tidak selalunya menerbitkan polinomial dan lazimnya berada di bawah pecahan nisbah,^[1] seperti mana pembahagian dua integer tidak semestinya menghasilkan satu integer, tetapi menghasilkan nombor bukan integer di bawah nombor nisbah.^[2] Pembahagian polinomial boleh dilaksanakan dengan beberapa kaedah seperti pembahagian panjang dan pembahagian sintetik.^[3]

Rujukan

Bibliografi

Mamat, Mustafa; Ibrahim, Zarina (1990). Algebra Asas. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka. m/s. 106–126. ISBN 9836211470.

Petikan

^ Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 Mei 2020). Intermediate Algebra 2e (dalam bahasa Inggeris). Section 7.1: OpenStax.CS1 maint: location (link)
^ Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008-10-14). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers (dalam bahasa Inggeris). SAGE. m/s. 49. ISBN 978-1-4462-0497-9. We find that the set of integers is not closed under this operation of division.
^ Peter H. Selby, Steve Slavin, Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, 2nd Edition, Wiley, ISBN 0-471-53012-3 ISBN 978-0-471-53012-1

Pautan luar

Media berkenaan Polinomial di Wikimedia Commons

Rencana berkaitan matematik ini ialah rencana tunas. Anda boleh membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[1] Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 Mei 2020). Intermediate Algebra 2e (dalam bahasa Inggeris). Section 7.1: OpenStax.CS1 maint: location (link)

[2] Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008-10-14). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers (dalam bahasa Inggeris). SAGE. m/s. 49. ISBN 978-1-4462-0497-9. We find that the set of integers is not closed under this operation of division.

[3] Peter H. Selby, Steve Slavin, Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, 2nd Edition, Wiley, ISBN 0-471-53012-3 ISBN 978-0-471-53012-1

[1]

[2]

[3]