Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Dalam bidang matematik , gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab ) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.
Secara formal, gelanggang ialah suatu set
R
{\displaystyle R}
+
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle +:R\times R\rightarrow R}
⋅
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle \cdot :R\times R\rightarrow R}
×
{\displaystyle \times }
hasil darab Descartes ). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:
(
R
,
+
)
{\displaystyle (R,+)}
kumpulan Abel terhadap penambahan:
Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
R
{\displaystyle R}
Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
R
{\displaystyle R}
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam
R
{\displaystyle R}
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
0
+
a
=
a
+
0
=
a
{\displaystyle 0+a=a+0=a}
Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
+
b
=
b
+
a
=
0
{\displaystyle a+b=b+a=0}
Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
(
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,\cdot )}
monoid terhadap pendaraban:
Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
⋅
b
{\displaystyle a\cdot b}
R
{\displaystyle R}
Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
R
{\displaystyle R}
(
a
⋅
b
)
⋅
c
=
a
⋅
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}
Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam
R
{\displaystyle R}
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
1
⋅
a
=
a
⋅
1
=
a
{\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}
Hukum-hukum kalis agihan:
Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
R
{\displaystyle R}
a
⋅
(
b
+
c
)
=
(
a
⋅
b
)
+
(
a
⋅
c
)
{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}
Bagi setiap
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
R
{\displaystyle R}
(
a
+
b
)
⋅
c
=
(
a
⋅
c
)
+
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}
