Matematik China

Matematik di China muncul secara berdikari pada abad ke-11 SM ^[1]. Orang China telah mengembangkan secara berdikari nombor yang sangat besar dan negatif, perpuluhan, sistem perpuluhan, sistem perduaan, algebra, geometri dan kalkulus.

Kebanyakan sarjana mempercayai bahawa jurumatematik China dan matematik dunia silam Mediterranean telah lebih kurang berkembang dengan sendirinya sehingga ke waktu apabila Sembilan Bab Seni Matematik mencapai bentuk akhirnya. Ia sering dicadangkan bahawa sesetengah penemuan matematik China adalah pratarikh dengan Barat. Suatu contohnya adalah Teorem Pythagoras. Adanya sesetengah kontroversi berkenaan isu ini dan sifat tepat ilmu ini pada China awal. Orang China adalah salah satu peradaban yang termaju pada penggunaan pengiraan matematik, dan mereka angka-angka yang besar. Unsur-unsur sains "Pythagoras" telah ditemui, contohnya, dalam teks tertua China Klasik (lihat Langkah King Wen). Ilmu segi tiga Pascal telah ditunjukkan wujud di China berabad-abad sebelum Pascal^[2], seperti yang dilakukan Shen Kuo.

Ilmu matematik China sebelum 100 SM adalah agak berpecah-belah, dan walaupun selepas tarikh ini tarikh manuskrip adalah masih samar. Pentarikhan kegunaan sesetengah cara matematik dalam sejarah China adalah bermasalah dan dipertikaikan.

Pada zaman terdahulu, fokusnya adalah pada astronomi dan menyempurnakan kalendar dan bukan menubuhkan bukti. Banyak karya menyenaraikan persamaan atau diberikan tatarajah apabila suatu bukti telah diberi bayangan dan bukan ditunjukkan. Dalam sesetengah kes, suatu bukti telah ditunjukkan tetapi ia kemudian dinyatakan sebagai suatu kaedah yang sahih.

Era pra-imperium

nilai tempat desimal menggunakan rod kira

Pada zaman Dinasti Shang (1600–1050 SM) sudah wujud karya matematik awal; antara yang tertua ialah I Ching yang turut mempengaruhi penulisan era Dinasti Zhou (1050–256 SM). Dari sudut matematik, teks ini menggunakan susunan heksagram yang canggih. Leibniz kemudian menegaskan bahawa I Ching mempamerkan unsur nombor binari.

Sejak era Shang lagi, masyarakat Cina mengaplikasi sistem desimal sepenuhnya. Seawal waktu itu, asas aritmetik, aljabar, persamaan dan penggunaan nombor negatif telah dipraktikkan dengan rod kira. Walaupun tumpuan besar diberikan kepada aritmetik dan aljabar terapan untuk tujuan astronomi, tradisi ini juga menampilkan pencetus awal kepada nombor negatif, geometri aljabar serta pemakaian perpuluhan.

Matematik merupakan salah satu daripada Enam Seni yang pelajar mesti kuasai pada zaman Dinasti Zhou (1122–256 SM). Penguasaan menyeluruh terhadap keseluruhannya dilihat sebagai ciri “sarjana serba boleh”, selari dengan gagasan Konfusian.

Karya geometri wujud tertua yang masih diketahui di China datang daripada kanun falsafah Mohisme sekitar s. 330 SM, disusun oleh pengikut Mozi (470–390 SM). Mo Jing menghimpunkan pelbagai huraian bidang sains jasmani serta perincian matematik. Ia merumuskan takrif “atomik” bagi titik geometri: garis boleh dipecah kepada bahagian, dan bahagian yang tidak lagi dapat dipecahkan serta menutup hujung garis ialah “titik”.^[3] Seiring dengan takrif awal Euclid dan gagasan Plato, Mo Jing menegaskan bahawa titik terletak di penghujung atau permulaan garis, bersifat tidak kelihatan serta tanpa bandingan.^[4] Seperti atomisme Demokritus, Mo Jing menghukum titik sebagai unit terkecil yang tidak boleh dibelah dua, kerana “ketiadaan” tidak dapat dibahagi.^[4] Teks tersebut juga menyatakan dua garis yang sama panjang akan berakhir pada kedudukan yang sama, memberikan takrif bagi perbandingan panjang dan selari,^[5] serta prinsip ruang dan ruang terbatas.^[6] Ia turut menyebut satah tanpa ketebalan tidak mungkin ditindan kerana tidak boleh saling bersentuhan.^[7] Istilah bagi lilitan, diameter, jejari dan takrif isi padu juga dijelaskan.^[8]

Kronologi perkembangan matematik masih meninggalkan jurang bukti dan beberapa teks klasik terus diperdebatkan. Zhoubi Suanjing misalnya ada yang menisbahkannya sekitar 1200–1000 SM, tetapi ramai sarjana berpendapat ia disusun antara 300 hingga 250 SM. Teks ini mengandungi pembuktian terperinci Teorem Gougu (kes khas Teorem Pythagoras), namun penekanan utamanya ialah pengiraan astronomi. Penemuan Tsinghua Bamboo Slips bertarikh s. 305 SM mendedahkan aspek matematik pra-Qin, termasuk jadual pendaraban desimal terawal yang diketahui.^[9]

Abakus disebut kali pertama pada abad ke 2 SM, seiring kaedah “kiraan dengan rod” (suan zi) yang meletakkan batang buluh kecil pada petak-petak papan seperti papan dam.^[10]

Dinasti Qin

Maklumat terperinci tentang matematik zaman Dinasti Qin terhad, sebahagiannya akibat peristiwa pembakaran buku dan pengebumian sarjana sekitar 213–210 SM. Pemahaman kita banyak diandaikan melalui projek awam dan bukti sejarah. Qin menstandardkan sistem timbangan dan sukatan. Projek kejuruteraan awam era ini sangat besar: Maharaja Qin Shi Huang memerintahkan pembinaan patung bersaiz hidup untuk kompleks makam serta binaan kuil dan anjung, dengan reka bentuk memanfaatkan kemahiran geometri seni bina. Pembinaan Tembok Besar China jelas menuntut teknik-teknik matematik. Bangunan serta projek mega Qin menggunakan formula kiraan isipadu, luas dan perkadaran yang maju.

Serpihan “wang tunai buluh” Qin yang dibeli oleh Akademi Yuelu di pasaran antik Hong Kong dilaporkan mengandungi sampel epigrafi terawal bagi risalah matematik.

Dinasti Han

Pada zaman Han, sistem angka berevolusi kepada sistem nilai tempat berasaskan perpuluhan dan digunakan atas papan kira bersama set rod kira yang dikenali sebagai rod calculus. Ia menggunakan sembilan simbol sahaja, dengan petak kosong pada papan kira mewakili sifar.^[11] Nombor negatif dan pecahan turut digunakan dalam penyelesaian teks agung tempoh tersebut. Karya utama, iaitu Buku tentang Nombor dan Pengiraan dan Jiuzhang suanshu, menyelesaikan masalah aritmetik asas tambah, tolak, darab dan bahagi.^[12] Kedua-duanya mengajarkan prosedur punca kuasa dua dan tiga yang kemudian diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan kuasa dua hingga tertib tiga.^[13] Kedua teks juga maju dalam Aljabar Linear, khususnya menyelesaikan sistem persamaan dengan berbilang sebutan tak diketahui.^[14] Nilai pi dalam kedua-dua teks diambil sebagai tiga.^[15] Namun ahli matematik Liu Xin (w. 23) dan Zhang Heng (78–139) memberikan anggaran pi yang lebih tepat berbanding amalan sebelumnya.^[12] Matematik dikembangkan bagi kegunaan praktikal, contohnya pembahagian tanah dan pengagihan bayaran.^[16] Tradisi Cina ketika itu kurang menekankan bukti teori geometri atau aljabar dalam erti moden; Buku Pengiraan dan The Nine Chapters sarat contoh kegunaan harian.^[17]

Buku tentang Nombor dan Pengiraan

Buku tentang Nombor dan Pengiraan mengandungi sekitar tujuh ribu aksara pada 190 jalur buluh.^[18] Ia ditemui bersama bahan lain pada 1984 ketika ahli arkeologi membuka sebuah makam di Zhangjiashan, Hubei. Bukti dokumenter menunjukkan makam itu ditutup pada 186 SM, iaitu awal Dinasti Han Barat.^[12] Hubungannya dengan Nine Chapters masih diperdebatkan, namun sebahagian kandungan jelas berpadanan. Teks Suan shu shu kurang sistematik berbanding Nine Chapters dan kelihatan sebagai kumpulan bahagian-bahagian pendek yang berdiri sendiri dari pelbagai sumber.^[18]

Buku Pengiraan memuat prasyarat kepada masalah yang kemudian diperluas dalam The Nine Chapters.^[18] Misalnya, punca kuasa dua dihampiri menggunakan kaedah false position: “gabungkan lebihan dan kekurangan sebagai pembahagi; jadikan hasil darab pengangka yang kurang dengan penyebut yang lebih, serta pengangka yang lebih dengan penyebut yang kurang, dan gabungkan sebagai pembilang.”^[18] Teks ini juga menyelesaikan sistem dua persamaan dua sebutan tak diketahui menggunakan kaedah yang sama.^[19]

Sembilan Bab tentang Seni Matematik

Sembilan Bab tentang Seni Matematik dikenal arkeologi bertarikh 179 M, tradisi lama menisbahkannya setua 1000 SM, dan ada bukti penyusunan sekitar 300–200 SM.^[20] Pengarangnya tidak diketahui, namun sumbangannya besar kepada dunia Timur. Gaya penyampaian menyenaraikan soalan diikuti jawapan dan tatacara pengiraan tanpa bukti formal.^[21] Ulasa Liu Hui kemudiannya menambah pembuktian geometri dan aljabar bagi sebahagian masalah.^[22]

Nine Chapters sangat berpengaruh dan menghimpunkan 246 masalah.^[20] Ia kemudian dimasukkan dalam Ten Computational Canons, tonggak pendidikan matematik pada abad-abad berikutnya.^[21] Kandungannya merangkumi pengukuran tanah, pertanian, perniagaan kongsi, kejuruteraan, cukai, pengiraan umum, penyelesaian persamaan dan sifat segi tiga bersudut tepat.^[21] Teks ini mempertingkat teknik menyelesaikan persamaan kuasa dua dengan kaedah yang seiras Kaedah Horner's.^[13] Ia juga memajukan fangcheng, iaitu apa yang kini disetarakan dengan aljabar linear.^[19] Bab tujuh menyelesaikan sistem dua persamaan dua sebutan tidak diketahui dengan kaedah false position, manakala bab lapan membahas persamaan serentak tentu dan tak tentu menggunakan nombor positif serta negatif; salah satu contoh melibatkan empat persamaan dengan lima sebutan tidak diketahui.^[19] Penyelesaiannya sejiwa penghapusan Gauss dan penggantian belakang.^[19]

Versi Nine Chapters yang menjadi asas edisi moden disusun sarjana Dai Zhen. Beliau menyalin terus masalah daripada Ensiklopedia Yongle, menyemak semula teks asal serta menambah nota hujahnya.^[23] Naskhah pertama terbit 1774, diikuti semakan 1776 yang membetulkan ralat dan memasukkan versi Dinasti Song Selatan beserta ulasan Liu Hui dan Li Chunfeng. Edisi muktamad 1777 bertajuk Ripple Pavilion kemudiannya tersebar luas serta menjadi rujukan standard.^[24] Namun Guo Shuchen mengkritik bahawa edisi itu masih mengekalkan pelbagai ralat dan tidak semua pindaan asalnya dilakukan sendiri oleh Dai Zhen.^[23]

Pengiraan pi

Dalam Nine Chapters, nilai pi diambil sebagai tiga untuk pengiraan bulatan dan sfera, termasuk luas permukaan sfera.^[20] Tiada formula eksplisit dalam teks yang menetapkan pi sama dengan tiga, tetapi amalan itu konsisten dalam Nine Chapters dan Artificer’s Record yang sezaman.^[25] Ahli sejarah berpendapat angka ini berpunca daripada nisbah lilitan dengan diameter 3:1.^[20] Sebahagian tokoh Han cuba menambah baik, misalnya Liu Xin dianggarkan menggunakan 3.154.^[12] Liu Hui pula menganggar 3.141024 melalui poligon terkandung dalam bulatan.^[26] Kemudian Zu Chongzhi menetapkan julat 3.1415926 < π < 3.1415927 menggunakan poligon 24,576 sisi, tahap ketepatan yang hanya muncul di Eropah pada abad ke 16.^[27] Tiada rekod kaedah terperinci cara beliau mendapatkan anggaran tersebut.^[12]

Pembahagian dan penuaian punca

Operasi asas seperti tambah, tolak, darab dan bahagi telah wujud sebelum era Han.^[12] Nine Chapters menganggap operasi ini telah diketahui dan terus mengarahkan langkah-langkahnya.^[19] Punca kuasa dua dan tiga dihitung dengan pendekatan berturut-turut yang serupa dengan algoritma bahagi, menggunakan istilah seperti pembilang shi dan pembahagi fa.^[13] Teknik hampiran ini kemudian diperluas untuk menyelesaikan persamaan kuasa dua dan tiga, misalnya $x^{2}+a=b$ , dengan kaedah mirip Horner.^[13] Generalisasi ke tertib n belum muncul pada zaman Han, tetapi kaedah ini akhirnya digunakan pada era kemudian.^[13]

Aljabar linear

Buku Pengiraan ialah teks terawal yang diketahui menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua sebutan tidak diketahui.^[19] Terdapat tiga set masalah yang menggunakan kaedah false position, semuanya digubal dalam bentuk aplikasi praktikal.^[19] Bab tujuh Nine Chapters juga menghuraikan sistem dua persamaan dua sebutan tidak diketahui dengan kaedah yang sama.^[19] Untuk mencari nilai yang lebih besar, kaedah ini mengarahkan pengganda-silang istilah kecil zi (nilai lebihan dan kekurangan) dengan istilah besar mu; nilai yang lebih kecil diperoleh dengan menjumlahkan istilah kecil.^[19]

Bab lapan pula menyelesaikan sistem tentu dan tak tentu dengan banyak sebutan tidak diketahui; proses ini dinamakan prosedur “fangcheng”.^[19] Ramai sejarawan mengekalkan istilah fangcheng tanpa terjemahan kerana bukti yang bercanggah tentang maknanya, namun ia lazimnya disejajarkan dengan aljabar linear. Dalam bab ini, penghapusan Gauss dan penggantian belakang digunakan untuk menyelesaikan sistem berskala besar.^[19] Pengiraan dilakukan di atas papan kira dan melibatkan nombor negatif serta pecahan.^[19] Papan kira tersebut berfungsi seperti matriks: baris atas mewakili sebutan pertama satu persamaan dan baris bawah sebutan terakhir.^[19]

Ulasan Liu Hui terhadap Sembilan Bab tentang Seni Matematik

Liu Hui menghasilkan ulasan terawal yang masih wujud ke atas Nine Chapters.^[20] Beliau dipercayai hidup sejurus selepas era Han dan dalam ulasannya, banyak prosedur dalam teks asal diperincikan semula dengan pembuktian geometri atau aljabar.^[17] Contohnya, sementara Nine Chapters menggunakan pi = 3 untuk masalah berkaitan bulatan dan sfera,^[28] Liu Hui memperbaik anggaran itu dengan kaedah keletihan, membina poligon berpangkat kian tinggi yang terbenam dalam bulatan sehingga luasnya menghampiri luas bulatan sebagai had; beliau menganggarkan pi sekitar 3.14.^[12] Liu Hui turut mengemukakan bukti geometri bagi punca kuasa dua dan tiga dengan membahagi segi empat atau kiub dan menggunakan kesimetrian bahagian selebihnya, setara dengan gagasan Yunani.^[29]

Tiga Kerajaan, Jin, dan Enam Belas Kerajaan

Pada abad ke 3, Liu Hui menulis ulasan terhadap Nine Chapters dan menyusun Haidao Suanjing yang menggunakan Teorem Pythagoras (telah pun wujud dalam Nine Chapters) serta teknik triangulasi berganda untuk kerja ukur; kecekapan kaedah ukurannya diyakini mendahului pencapaian di Barat hampir seribu tahun.Swetz, Frank J.; Liu, Hui (1992). The sea island mathematical manual: surveying and mathematics in ancient China. University Park, Pa: Pennsylvania State University Press. m/s. 63. ISBN 978-0-271-00795-3. Dicapai pada 2023-11-18. Beliau juga menjadi tokoh Cina terawal yang mengira π ≈ 3.1416 melalui algoritma sendiri, memanfaatkan idea seumpama prinsip Cavalieri untuk merumus formula isipadu silinder, malah mengisyaratkan unsur-unsur awal kalkulus infinitesimal.

Pada abad ke 4, Zu Chongzhi memperkenalkan kalendar Da Ming Li untuk meramal kitaran kosmologi. Sumber tentang kehidupannya terhad, namun melalui Book of Sui kita mengetahui beliau daripada keluarga yang menekuni matematik. Menggunakan kaedah Liu Hui pada poligon 12,288 sisi, Zu menetapkan julat 3.1415926 < π < 3.1415927, yang kekal paling tepat di dunia selama kira-kira 900 tahun. Beliau menerapkan interpolasi He Chengtian untuk menghampiri nombor tak nisbah dengan pecahan dan memperoleh ${\tfrac {355}{113}}$ sebagai hampiran unggul bagi π; Yoshio Mikami menyatakan pecahan ini tidak diketahui Yunani, India atau Arab dan hanya “ditemui semula” di Eropah oleh Adrian Anthoniszoom pada 1585, justeru tamadun Cina memilikinya lebih seribu tahun lebih awal daripada Eropah.^[30]

Bersama anaknya Zu Geng, Zu Chongzhi menggunakan pendekatan Cavalieri untuk formula isipadu sfera. Karyanya Zhui Shu kemudian tersisih daripada kurikulum era Song dan hilang; ramai mengandaikan ia mengandungi kaedah dan formula bagi aljabar linear dan matriks, algoritma π, serta formula isipadu sfera, dan mungkin berkait dengan teknik interpolasi astronomi yang hampir dengan matematik moden.

Teks manual Sunzi suanjing (antara 200–400 M) memberikan huraian paling terperinci langkah demi langkah tentang pendaraban dan pembahagian dengan rod kira. Menariknya, Sunzi mungkin mempengaruhi perkembangan sistem nilai tempat dan teknik “galley division” di Barat. Sumber Eropah mempelajari teknik nilai tempat pada abad ke 13 melalui terjemahan Latin karya awal abad ke 9 oleh Al-Khwarizmi. Persembahan al-Khwarizmi hampir menyalin algoritma bahagi dalam Sunzi, termasuk gaya seperti menggunakan ruang kosong untuk sifar hujung; persamaan ini mencadangkan kemungkinan bukan penemuan bebas. Pengulas Islam terhadap karya al-Khwarizmi menganggap ia meringkaskan ilmu Hindu; ketiadaan rujukan sumber asal menyukarkan penentuan sama ada ilmu itu turut sampai dari China.^[31]

Pada abad ke 5, manual "Zhang Qiujian suanjing" membicarakan persamaan linear dan kuasa dua. Menjelang tempoh ini, konsep nombor negatif telah pun diterima pakai dalam tradisi matematik Cina.

Dinasti Tang

Menjelang era Dinasti Tang, pengajian matematik sudah menjadi kurikulum lazim di sekolah tinggi kekaisaran. Himpuan The Ten Computational Canons yang disusun pakar Tang awal, Li Chunfeng (李淳風 602–670), dihimpunkan sebagai teks rasmi peperiksaan istana bagi bidang nombor. Pada zaman Dinasti Sui dan Tang, institusi khusus bernama School of Computations turut beroperasi.^[32]

Pada awal Dinasti Tang, Wang Xiaotong menulis Jigu Suanjing (Lanjutan Matematik Purba), yang memuatkan penyelesaian berangka bagi persamaan kubik umum, pernyataan terawal seumpamanya dalam tradisi China.^[33]

Sumber Tibet mencatat bahawa pengetahuan awal perhitungan diperoleh dari China pada zaman pemerintah gNam-ri srong btsan yang mangkat pada 630. Ini turut disebut dalam laporan sarjana Barat abad ke 19 yang menambah bahawa perubatan juga datang bersama aritmetik dari China.^[34]^[35]

Jadual fungsi sine karya ahli nombor India, Aryabhata, diterjemah ke dalam Kaiyuan Zhanjing pada 718 Masihi di bawah Tang.^[36] Walaupun cemerlang dalam bidang lain seperti geometri pepejal, teorem binomial dan rumus aljabar kompleks, bentuk awal trigonometry tidak diberi tempat setinggi di India dan dunia Islam.^[37]

Yi Xing, sami Buddha yang juga ahli matematik, dikreditkan dengan pembinaan jadual tangen. Tradisi awal China sering menggunakan ganti empirikal disebut chong cha, namun penggunaan praktikal tangen, sine dan secant pada satah telah diketahui.^[37] Yi Xing terkenal dengan kebijaksanaan perhitungannya, termasuk percubaan mengira jumlah kedudukan pada papan permainan go walaupun ketiadaan simbol sifar menyukarkan pernyataan nilainya.

Dinasti Song dan Yuan

Ahli matematik Dinasti Song Utara, Jia Xian, memperkenalkan kaedah tambah-darab untuk punca kuasa dua dan tiga yang mengimplimentasi aturan Horner.^[38]

Pada kurun ke 12 hingga 13, empat tokoh menonjol: Yang Hui, Qin Jiushao, Li Zhi (Li Ye) dan Zhu Shijie. Yang Hui, Qin Jiushao dan Zhu Shijie menggunakan gabungan kaedah Horner dan Ruffini lebih kurang enam abad mendahului Eropah untuk mencari punca serta menyelesai persamaan serentak kuadratik, kubik dan kuartik. Yang Hui juga tokoh terawal yang memaparkan dan membuktikan sifat-sifat Pascal's triangle di China, walaupun sebutan paling awalnya mendahului abad ke 11. Li Zhi pula membangunkan bentuk geometri aljabar berasaskan tiān yuán shù. Karyanya Ceyuan haijing mengubah masalah geometri bulatan tersurat dalam segi tiga menjadi persamaan aljabar, bukan lagi bergantung semata-mata pada Teorem Pythagoras. Dalam tempoh yang sama, Guo Shoujing mengolah trigonometri sfera untuk ketepatan astronomi. Banyak gagasan yang dianggap moden di Barat sebenarnya telah hadir dalam tradisi China, kemudian lesu seketika sebelum berlakunya kebangkitan abad ke 13 apabila ahli China memecahkan persamaan dengan teknik yang Eropah kenali hanya pada abad ke 18. Kemasannya jelas dalam dua buku Zhu Shijie, Suanxue qimeng dan Cermin Jed Empat Tidak Diketahui; dalam satu contoh kaedahnya bersetara dengan pemeluwapan poros Gauss.

Qin Jiushao (s. 1202 – 1261) merupakan orang pertama yang memperkenalkan simbol sifar dalam matematik China.^[39] Sebelum itu, ruang kosong pada papan rod berperanan sebagai sifar.^[40] Sumbangan besarnya termasuk teknik menyelesai persamaan numerik tertib tinggi. Mengulas kaedah Qin bagi persamaan darjah keempat, Yoshio Mikami menyatakan proses Horner telah diamalkan di China hampir enam abad sebelum Eropah.^[41] Qin malah menyelesaikan persamaan darjah kesepuluh.^[42]

Ilustrasi awal Pascal's triangle dalam China dipaparkan oleh Yang Hui dalam Xiangjie Jiuzhang Suanfa, meskipun sekitar 1100 nama Jia Xian telah menyentuhnya.^[43] Suanxue qimeng oleh Zhu Shijie (1299) tidak membawa formula baharu, namun pengaruhnya besar terhadap perkembangan matematik Jepun.^[44]

Aljabar

Ceyuan haijing

Bulatan tersurat Li Ye dalam segi tiga: *Diagram of a round town*

Ceyuan haijing (Cina tradisional: 測圓海鏡; pinyin: Cèyuán Hǎijìng), iaitu Sea-Mirror of the Circle Measurements, menghimpunkan 692 rumus dan 170 masalah tentang bulatan tersurat dalam segi tiga, disusun oleh Li Zhi atau Li Ye (1192–1272). Beliau menukar masalah geometri yang rumit kepada bentuk aljabar murni menggunakan Tian yuan shu, lalu menyelesaikan persamaan hingga darjah enam dengan fan fa yang pada hari ini dikenali sebagai kaedah Horner, meskipun tatacara tepatnya tidak dihuraikan.^[45] Tradisi yang sama diguna oleh Chu Shih-chieh, Qin Jiushao dan Yang Hui.

Cermin Jed Empat Tidak Diketahui

Cermin Jed Empat Tidak Diketahui karya Zhu Shijie (1303) menandakan kemuncak perkembangan aljabar China. Empat kuantiti tak diketahui dilambangkan sebagai langit, bumi, insan dan benda. Buku ini memuatkan persamaan serentak serta persamaan sehingga darjah empat belas, dan menggunakan fan fa atau kaedah Horner untuk mengira punca.^[46] Antara rumus yang diberikan tanpa bukti formal ialah siri pendaraban jumlah kuasa: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}$ $1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}$

Mathematical Treatise in Nine Sections

Mathematical Treatise in Nine Sections oleh pentadbir kaya Ch'in Chiu-shao (s. 1202 – s. 1261) menandai puncak analisis tak tentu dalam tradisi China melalui kaedah baharu menyelesai kongruen serentak.^[45]

Petak ajaib dan bulatan ajaib

Petak ajaib tertua yang diketahui bagi tertib melebihi tiga dikaitkan dengan Yang Hui (fl. sekitar 1261–1275), termasuk petak tertib empat hingga sepuluh, selain kerja tentang bulatan ajaib.^[47]

Trigonometri

Keadaan trigonometry dalam tradisi China yang sebelum ini terhad mula berubah secara beransur pada zaman Dinasti Song apabila ahli matematik melihat keperluan trigonometri sfera untuk kiraan kalendar dan kerja astronomi.^[37] Shen Kuo (1031–1095) menggunakan fungsi trigonometri bagi masalah tali busur dan lengkok, dengan formula hampiran s = c + 2v²/d untuk anggaran panjang arka, di mana d ialah diameter, v ialah versine, dan c panjang tali.^[48] Penulis lain seperti Sal Restivo menilai kerja Shen tentang panjang lengkok sebagai asas kepada trigonometri sfera yang dihuraikan pada abad ke 13 oleh Guo Shoujing (1231–1316).^[49] Gauchet dan Needham menyatakan Guo menerapkan trigonometri sfera untuk memperbaik kalendar dan cerapan astronomi China.^[37]^[50] Dalam rajah berbentuk piramid sfera segi empat, Guo menggabungkan arka khatulistiwa dan ekliptik dengan dua arka meridian, membolehkan beliau memperoleh du lü, ji cha dan cha lü untuk jadual ukuran.^[51]

Selepas pencapaian Shen dan Guo, karya besar seterusnya tentang trigonometri China hanya muncul pada 1607 apabila Xu Guangqi (1562–1633) bersama Matteo Ricci (1552–1610) menerbitkan terjemahan Euclid's Elements.^[52]

Dinasti Ming

Sesudah kejatuhan Dinasti Yuan, istana memandang curiga ilmu yang dikaitkan dengan Mongol. Tumpuan berubah kepada botani dan farmakologi, manakala matematik semakin tersisih daripada peperiksaan diraja awam. Martzloff merumuskan keadaan ini:

Menjelang akhir abad ke 16, matematik tempatan China yang diketahui oleh sarjana China sendiri hampir tiada, tidak lebih daripada pengiraan menggunakan sempoa. Pada abad ke 17 dan 18, tiada apa yang sebanding dengan lonjakan revolusi sains Eropah. Tambahan pula, ketika itu, hampir tiada pihak boleh menceritakan apa yang berlaku pada masa silam kerana orang China sendiri hanya memiliki serpihan pengetahuan. Matematik China tidak ditemui semula secara besar-besaran sebelum suku terakhir abad ke 18.^[53]

Selari dengan itu, ramai cendekia gagal menguasai kaedah seperti tian yuan shu dan teknik increase multiply; Wu Jing yang menyusun anotasi untuk Sembilan Bab tentang Seni Matematik tidak memasukkan kedua-duanya.^[54]

Kemajuan kemudian beralih kepada alat pengiraan. Pada abad ke 15, sempoa mencapai bentuk suan pan yang mudah dibawa, cekap dan tepat, lalu menggantikan papan rod. Tradisi zhusuan mencetuskan karya baharu, antaranya Suanfa Tongzong oleh Cheng Dawei pada 1592 yang kekal digunakan beratus tahun. Zhu Zaiyu, Putera Zheng menggunakan sempoa 81 kedudukan untuk mengira punca kuasa dua dan tiga sehingga 25 digit, ketepatan yang membolehkan beliau memformalkan sistem penemperaan sama.

Mulai akhir abad ke 16, Matteo Ricci memilih menerbitkan karya sains Barat untuk menempatkan diri di istana. Dengan bantuan Xu Guangqi, Elements dialih ke bahasa China menggunakan teknik pedagogi klasik.^[55] Para mubaligh lain pula menterjemah karya tentang fungsi khas seperti trigonometri dan logaritma yang kurang diberi perhatian dalam tradisi China.Brucker (1912). "Matteo Ricci". The Catholic Encyclopedia. New York: Robert Appleton. OCLC 174525342. Namun penekanan kepada bukti berbanding soalan-penyelesaian dianggap pelik oleh ramai sarjana, dan kebanyakan mereka terus berpaut pada teks klasik.^[56]

Dinasti Qing

Di bawah Maharaja Kangxi yang mempelajari matematik Barat daripada Jesuit dan terbuka kepada ilmu luar, matematik China menerima naungan singkat.^[57] Atas titah baginda, Mei Goucheng dan tiga ahli terkemuka lain menyusun Shuli Jingyun sebanyak 53 jilid yang siap dicetak pada 1723, memperkenalkan ilmu matematik Barat secara sistematik.^[58] Seiring itu, Meishi Congshu Jiyang mengumpulkan hampir semua aliran matematik China yang wujud pada masa itu dan karya rentas budaya Mei Wending (1633–1721).^[59]^[60] Usaha ini memudahkan pengesanan rujukan untuk sarjana tempatan.^[61]

Pada 1773, Maharaja Qianlong memulakan projek Complete Library of the Four Treasuries. Dai Zhen menyaring dan menyemak Sembilan Bab tentang Seni Matematik daripada Yongle Encyclopedia serta beberapa teks era Han dan Tang.Minghui, Hu (2017-02-14). China's transition to modernity : the new classical vision of Dai Zhen. Seattle. ISBN 978-0295741802. OCLC 963736201. Naskhah Song dan Yuan yang lama hilang seperti Si-yüan yü-jian dan Ceyuan haijing turut ditemui serta dicetak semula, mencetus gelombang kajian baharu.^[62] Antaranya Jiuzhang suanshu xicaotushuo oleh Li Huang dan Siyuan yujian xicao oleh Luo Shilin menjadi edisi beranotasi yang berpengaruh.^[63]

Pengaruh Barat

Selepas Perang Candu Pertama pada 1840, arus karya matematik Barat memasuki China pada skala belum pernah berlaku. Pada 1852, ahli matematik Li Shanlan bersama mubaligh British Alexander Wylie menterjemah sembilan jilid akhir Elements dan 13 jilid Algebra.^[64] Bersama Joseph Edkins, terbit pula terjemahan astronomi dan kalkulus. Pada awalnya, sarjana tempatan ragu sama ada mempelajari ilmu Barat wajar dilihat sebagai tunduk kepada penceroboh. Menjelang akhir abad, keperluan memulihkan kedaulatan mendorong mereka menggabungkan ilmu tersebut dalam agenda pembaharuan. Graduan sekolah mubaligh yang diasuh dengan teks Barat semakin jauh daripada tradisi asli, manakala yang berpegang pada kaedah lama terus mengerjakan matematik algoritma tanpa simbolisme Barat.^[65] Martzloff merumuskan bahawa selepas 1911, matematik yang diamalkan di China sepenuhnya beracuankan Barat.^[66]

Di China moden

Selepas penubuhan republik moden pada 1912, matematik China bangkit semula dengan pesat. Sejak itu, ahli matematik China moden menghasilkan sumbangan penting merentas pelbagai cabang teori dan gunaan.

Republik Rakyat China

Pada 1949, ketika negara baharu dibentuk, kerajaan tetap mengutamakan sains walaupun sumber kewangan amat terhad. Chinese Academy of Sciences ditubuhkan pada November 1949, diikuti penubuhan rasmi Institut Matematik pada Julai 1952. Persatuan Matematik China menghidupkan semula jurnal asal dan menambah beberapa terbitan khusus. Dalam tempoh 18 tahun selepas 1949, jumlah makalah yang diterbitkan melebihi tiga kali ganda keseluruhan sebelum 1949, dengan sebahagian daripadanya bukan sahaja menutup jurang ilmu dalam negara malah mencapai aras termaju dunia.^[67]

Ketika kekacauan Cultural Revolution, kegiatan sains merosot. Dalam matematik, selain usaha gigih tokoh seperti Chen Jingrun, Hua Luogeng dan Zhang Guanghou, banyak kerja terhenti. Seusai krisis, penerbitan karya sastera Guo Moruo “Spring of Science” menjadi antara pemangkin kebangkitan semula sains dan matematik. Pada 1977, pelan pembangunan matematik baharu digubal di Beijing, kegiatan persatuan disambung, jurnal dihidupkan kembali, terbitan akademik diperkukuh, pendidikan matematik diperteguh dan penyelidikan teori asas dipertajam.^[67]

Antara hasil penting ialah sumbangan Xia Zhihong yang pada 1988 membuktikan Painlevé conjecture dalam konteks sistem kuasa bagi masalah badan-N, iaitu kewujudan singulariti tanpa perlanggaran apabila dalam beberapa keadaan awal, satu jasad boleh mencapai infiniti kedudukan atau halaju dalam masa terhingga. Sekitar 2013, Xue Jinxin bersama Dolgopyat menunjukkan singulariti tanpa perlanggaran dalam versi dipermudah bagi masalah empat jasad.^[68]

Pada 2007, Shen Weixiao bersama Kozlovski dan van Strien membuktikan Real Fatou conjecture yang menyatakan polinomial hiperbolik nyata tumpat dalam ruang polinomial nyata bagi darjah tetap. Idea ini berakar daripada Fatou pada 1920 an dan kemudian dikemukakan semula oleh Smale pada 1960 an. Pembuktian ini dinilai sebagai antara kemajuan terpenting dalam dinamika konformal mutakhir.^[68]

Pencapaian IMO

Berbanding negara peserta lain dalam Olimpiad Matematik Antarabangsa, pasukan China secara keseluruhan memperoleh markah tertinggi dan paling kerap mencapai status semua ahli memenangi pingat emas dengan pasukan penuh.^[69]

Dalam pendidikan

Rujukan terawal tentang penggunaan buku untuk pembelajaran matematik di China bertarikh abad kedua Masihi (Hou Hanshu: 24, 862; 35, 1207). Ma Xu, seorang pemuda sekitar 110 M, dan Zheng Xuan (127–200) mempelajari Nine Chapters on Mathematical Procedures atau Jiuzhang. Christopher Cullen berhujah bahawa pengajaran matematik, mirip bidang perubatan, disampaikan secara lisan. Gaya penulisan Suàn shù shū dari Zhangjiashan menunjukkan teks itu dihimpunkan daripada pelbagai sumber sebelum melalui proses kodifikasi.^[70]

Nota kaki dan petikan

^ J J O'Connor dan E F Robertson, Overview of Chinese mathematics
^ Frank J. Swetz dan T. I. Kao, Was Pythagoras Chinese? An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China
^ Needham 1959, m/s. 91.
^ ^a ^b Needham 1959, m/s. 92.
^ Needham 1959, m/s. 92–93.
^ Needham 1959, m/s. 93.
^ Needham 1959, m/s. 93–94.
^ Needham 1959, m/s. 94.
^ Qiu, Jane (2014-01-07). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature (dalam bahasa Inggeris). doi:10.1038/nature.2014.14482. ISSN 0028-0836. S2CID 130132289. Dicapai pada 2023-11-17.
^ Ifrah, Georges (2001). The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-39671-0.
^ Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :03
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Needham 1959.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Needham 1955.
^ Hart 2011.
^ Lennart, Bergren (1997). Pi: A Source Book. New York. ISBN 978-1-4757-2738-8.
^ Yong 1994.
^ ^a ^b Siu 1993.
^ ^a ^b ^c ^d Dauben 2008.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Hart 2011, m/s. 11–85.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Dauben 2013.
^ ^a ^b ^c Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :42
^ Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :032
^ ^a ^b Hart 2011, m/s. 32–33.
^ Dauben 2013, m/s. 211–216.
^ Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :822
^ Hart 2011, m/s. 39.
^ Wilson, Robin (2013). "Early Chinese Mathematics". The Mathematical Intelligencer (dalam bahasa Inggeris). 35 (2): 80. doi:10.1007/s00283-013-9364-x. ISSN 0343-6993. S2CID 122920358.
^ Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :823
^ Yong 1970.
^ Mikami 1913, m/s. 50.
^ Lam Lay Yong (1996). "The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetic" (PDF). Chinese Science. 13: 35–54. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 2012-03-21. Dicapai pada 2015-12-31.
^ Karp, Alexander; Schubring, Gert (2014). Handbook on the history of mathematics education. New York: Springer. m/s. 59. ISBN 978-1-4614-9155-2.
^ Mikami 1913, m/s. 53.
^ Chisholm, Hugh, penyunting (1911). "Tibet s.v. History" . Encyclopædia Britannica (dalam bahasa Inggeris). 26 (ed. ke-11). Cambridge University Press. m/s. 926. ... gNam-ri srong btsan, who died in 630. During his reign the Tibetans obtained their first knowledge of arithmetic and medicine from China.
^ The Life of the Buddha and the early history of his order: derived from Tibetan works in the Bkah-hgyur and Bstan-hgyur followed by notices on the early history of Tibet and Khoten. Diterjemahkan oleh Rockhill, William Woodville; Leumann, Ernst; Nanjio, Bunyiu. K. Paul, Trench, Trübner. 1907. m/s. 211. ISBN 9780415244824. Dicapai pada 2011-07-01. sixth century the tibetans obtained their first knowledge of arithmetic and medicine from the chinese.
^ Needham 1959, m/s. 109.
^ ^a ^b ^c ^d Needham 1959, m/s. 108–109.
^ Martzloff 1987, m/s. 142.
^ Needham 1959, m/s. 43.
^ Needham 1959, m/s. 62–63.
^ Mikami 1913, m/s. 77.
^ Libbrecht 1973, m/s. 211.
^ Needham 1959, m/s. 134–137.
^ Needham 1959, m/s. 46.
^ ^a ^b Boyer 1991, m/s. 204, "China and India".
^ Boyer 1991, m/s. 203, "China and India".
^ Boyer 1991, m/s. 204–205, "China and India".
^ Dauben 2007, m/s. 308.
^ Restivo, Sal (1992). Mathematics in Society and History: Sociological Inquiries. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. m/s. 32. ISBN 1-4020-0039-1..
^ Gauchet, L. (1917). "Note sur la trigonométrie sphérique de Kouo Cheou-king". T'oung Pao (dalam bahasa Perancis). 18 (3): 151–174. doi:10.1163/156853217X00075. ISSN 0082-5433. JSTOR 4526535.
^ Needham 1959, m/s. 109–110.
^ Needham 1959, m/s. 110.
^ Martzloff 1987, m/s. 4.
^ Martzloff 1987, m/s. 20.
^ Martzloff 1987, m/s. 21.
^ Martzloff 1987, m/s. 29.
^ Martzloff 1987, m/s. 25–28.
^ Han Qi; Jami, Catherine (2003). "The Reconstruction of Imperial Mathematics in China During the Kangxi Reign (1662-1722)". Early Science and Medicine. 8 (2): 88–110. doi:10.1163/157338203X00026. ISSN 1383-7427.
^ Jami, Catherine (2011-12-01). "A mathematical scholar in Jiangnan: The first half-life of Mei Wending". The Emperor's New Mathematics: Western Learning and Imperial Authority During the Kangxi Reign (1662-1722). Oxford University Press. m/s. 82–101. doi:10.1093/acprof:oso/9780199601400.003.0005. ISBN 9780199601400. Dicapai pada 2018-07-28.
^ Elman, Benjamin A. (2005). On their own terms: science in China, 1550-1900. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. ISBN 9780674036475. OCLC 443109938.
^ Martzloff 1987, m/s. 28.
^ Martzloff 1987.
^ Catherine, Jami (2012). The emperor's new mathematics : Western learning and imperial authority during the Kangxi Reign (1662-1722). Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780191729218. OCLC 774104121.
^ Martzloff 1987, m/s. 341–351.
^ Bréard 2019.
^ Martzloff 1987, m/s. 34–39.
^ ^a ^b Kong 2015.
^ ^a ^b Kong 2012.
^ "Team Results: China at International Mathematical Olympiad".
^ Cullen, Christopher; Loewe, Michael (2010). "Numbers, numeracy and the cosmos". Dalam Nylan, Michael; Loewe, Michael (penyunting). China's early empires: a re-appraisal. University of Cambridge Oriental publications. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85297-5.

Bacaan lanjut

Dauben, Joseph W. (2007). "Chinese Mathematics". Dalam Victor J. Katz (penyunting). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
Martzloff, J. (1996). A History of Chinese Mathematics. Springer. ISBN 3-540-33782-2.

Pautan luar

[1] J J O'Connor dan E F Robertson, Overview of Chinese mathematics

[2] Frank J. Swetz dan T. I. Kao, Was Pythagoras Chinese? An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China

[FOOTNOTENeedham195991-3] Needham 1959, m/s. 91.

[FOOTNOTENeedham195992-4] Needham 1959, m/s. 92.

[FOOTNOTENeedham195992–93-5] Needham 1959, m/s. 92–93.

[FOOTNOTENeedham195993-6] Needham 1959, m/s. 93.

[FOOTNOTENeedham195993–94-7] Needham 1959, m/s. 93–94.

[FOOTNOTENeedham195994-8] Needham 1959, m/s. 94.

[Nature2-9] Qiu, Jane (2014-01-07). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature (dalam bahasa Inggeris). doi:10.1038/nature.2014.14482. ISSN 0028-0836. S2CID 130132289. Dicapai pada 2023-11-17.

[Ifrah_20012-10] Ifrah, Georges (2001). The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-39671-0.

[:03-11] Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :03

[FOOTNOTENeedham1959-12] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Needham 1959.

[FOOTNOTENeedham1955-13] Needham 1955.

[FOOTNOTEHart2011-14] Hart 2011.

[:82-15] Lennart, Bergren (1997). Pi: A Source Book. New York. ISBN 978-1-4757-2738-8.

[FOOTNOTEYong1994-16] Yong 1994.

[FOOTNOTESiu1993-17] Siu 1993.

[FOOTNOTEDauben2008-18] Dauben 2008.

[FOOTNOTEHart201111–85-19] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Hart 2011, m/s. 11–85.

[FOOTNOTEDauben2013-20] Dauben 2013.

[:42-21] Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :42

[:032-22] Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :032

[FOOTNOTEHart201132–33-23] Hart 2011, m/s. 32–33.

[FOOTNOTEDauben2013211–216-24] Dauben 2013, m/s. 211–216.

[:822-25] Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :822

[FOOTNOTEHart201139-26] Hart 2011, m/s. 39.

[27] Wilson, Robin (2013). "Early Chinese Mathematics". The Mathematical Intelligencer (dalam bahasa Inggeris). 35 (2): 80. doi:10.1007/s00283-013-9364-x. ISSN 0343-6993. S2CID 122920358.

[:823-28] Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; tiada teks disediakan bagi rujukan yang bernama :823

[FOOTNOTEYong1970-29] Yong 1970.

[FOOTNOTEMikami191350-30] Mikami 1913, m/s. 50.

[LayYongArithmeticSystems2-31] Lam Lay Yong (1996). "The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetic" (PDF). Chinese Science. 13: 35–54. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 2012-03-21. Dicapai pada 2015-12-31.

[KarpSchubring20142-32] Karp, Alexander; Schubring, Gert (2014). Handbook on the history of mathematics education. New York: Springer. m/s. 59. ISBN 978-1-4614-9155-2.

[FOOTNOTEMikami191353-33] Mikami 1913, m/s. 53.

[34] Chisholm, Hugh, penyunting (1911). "Tibet s.v. History" . Encyclopædia Britannica (dalam bahasa Inggeris). 26 (ed. ke-11). Cambridge University Press. m/s. 926. ... gNam-ri srong btsan, who died in 630. During his reign the Tibetans obtained their first knowledge of arithmetic and medicine from China.

[35] The Life of the Buddha and the early history of his order: derived from Tibetan works in the Bkah-hgyur and Bstan-hgyur followed by notices on the early history of Tibet and Khoten. Diterjemahkan oleh Rockhill, William Woodville; Leumann, Ernst; Nanjio, Bunyiu. K. Paul, Trench, Trübner. 1907. m/s. 211. ISBN 9780415244824. Dicapai pada 2011-07-01. sixth century the tibetans obtained their first knowledge of arithmetic and medicine from the chinese.

[FOOTNOTENeedham1959109-36] Needham 1959, m/s. 109.

[FOOTNOTENeedham1959108–109-37] Needham 1959, m/s. 108–109.

[FOOTNOTEMartzloff1987142-38] Martzloff 1987, m/s. 142.

[FOOTNOTENeedham195943-39] Needham 1959, m/s. 43.

[FOOTNOTENeedham195962–63-40] Needham 1959, m/s. 62–63.

[FOOTNOTEMikami191377-41] Mikami 1913, m/s. 77.

[FOOTNOTELibbrecht1973211-42] Libbrecht 1973, m/s. 211.

[FOOTNOTENeedham1959134–137-43] Needham 1959, m/s. 134–137.

[FOOTNOTENeedham195946-44] Needham 1959, m/s. 46.

[FOOTNOTEBoyer1991204"China_and_India"-45] Boyer 1991, m/s. 204, "China and India".

[FOOTNOTEBoyer1991203"China_and_India"-46] Boyer 1991, m/s. 203, "China and India".

[FOOTNOTEBoyer1991204–205"China_and_India"-47] Boyer 1991, m/s. 204–205, "China and India".

[FOOTNOTEDauben2007308-48] Dauben 2007, m/s. 308.

[restivo_322-49] Restivo, Sal (1992). Mathematics in Society and History: Sociological Inquiries. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. m/s. 32. ISBN 1-4020-0039-1..

[gauchet_1512-50] Gauchet, L. (1917). "Note sur la trigonométrie sphérique de Kouo Cheou-king". T'oung Pao (dalam bahasa Perancis). 18 (3): 151–174. doi:10.1163/156853217X00075. ISSN 0082-5433. JSTOR 4526535.

[FOOTNOTENeedham1959109–110-51] Needham 1959, m/s. 109–110.

[FOOTNOTENeedham1959110-52] Needham 1959, m/s. 110.

[FOOTNOTEMartzloff19874-53] Martzloff 1987, m/s. 4.

[FOOTNOTEMartzloff198720-54] Martzloff 1987, m/s. 20.

[FOOTNOTEMartzloff198721-55] Martzloff 1987, m/s. 21.

[FOOTNOTEMartzloff198729-56] Martzloff 1987, m/s. 29.

[FOOTNOTEMartzloff198725–28-57] Martzloff 1987, m/s. 25–28.

[58] Han Qi; Jami, Catherine (2003). "The Reconstruction of Imperial Mathematics in China During the Kangxi Reign (1662-1722)". Early Science and Medicine. 8 (2): 88–110. doi:10.1163/157338203X00026. ISSN 1383-7427.

[59] Jami, Catherine (2011-12-01). "A mathematical scholar in Jiangnan: The first half-life of Mei Wending". The Emperor's New Mathematics: Western Learning and Imperial Authority During the Kangxi Reign (1662-1722). Oxford University Press. m/s. 82–101. doi:10.1093/acprof:oso/9780199601400.003.0005. ISBN 9780199601400. Dicapai pada 2018-07-28.

[60] Elman, Benjamin A. (2005). On their own terms: science in China, 1550-1900. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. ISBN 9780674036475. OCLC 443109938.

[FOOTNOTEMartzloff198728-61] Martzloff 1987, m/s. 28.

[FOOTNOTEMartzloff1987-62] Martzloff 1987.

[63] Catherine, Jami (2012). The emperor's new mathematics : Western learning and imperial authority during the Kangxi Reign (1662-1722). Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780191729218. OCLC 774104121.

[FOOTNOTEMartzloff1987341–351-64] Martzloff 1987, m/s. 341–351.

[FOOTNOTEBréard2019-65] Bréard 2019.

[FOOTNOTEMartzloff198734–39-66] Martzloff 1987, m/s. 34–39.

[FOOTNOTEKong2015-67] Kong 2015.

[FOOTNOTEKong2012-68] Kong 2012.

[69] "Team Results: China at International Mathematical Olympiad".

[70] Cullen, Christopher; Loewe, Michael (2010). "Numbers, numeracy and the cosmos". Dalam Nylan, Michael; Loewe, Michael (penyunting). China's early empires: a re-appraisal. University of Cambridge Oriental publications. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85297-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]