Masa wajar

Dalam ilmu kerelatifan, masa wajar merupakan selang masa antara dua peristiwa seperti yang diukur oleh jam yang melalui kedua-dua peristiwa itu. Masa wajar bergantung bukan sahaja pada peristiwa-peristiwa berkenaan, bahkan juga pada pergerakan jam antara peristiwa-peristiwa itu. Jam yang dipecutkan akan menyukat selang masa yang lebih singkat antara dua peristiwa daripada yang disukat oleh jam yang tidak dipecutkan (inersia) antara dua peristiwa yang sama. Paradoks kembar merupakan satu contoh untuk kesan ini.

Dari segi ruang masa empat dimensi, masa wajar adalah bersamaan dengan kepanjangan arka dalam ruang tiga dimensi (Euclidan). Pada resamnya, masa wajar biasanya berlambangkan huruf Yunani τ (tau) untuk membezakannya daripada masa koordinat yang berlambangkan t atau T.

Berbanding dengan itu, masa koordinat adalah selang masa antara dua peristiwa seperti yang disukat oleh pemerhati yang jauh yang menggunakan cara tersendiri untuk menentukan masa pada peristiwa. Dalam kes istimewa yang mana pemerhati inersia dalam kerelatifan khas, masa itu diukur dengan menggunakan jam pemerhati dan definisi keserentakan bagi si pemerhati.

Konsep masa wajar diperkenalkan oleh Hermann Minkowski pada tahun 1908,^[1] bahkan merupakan ciri-ciri dalam gambarajah Minkowski.

Formalisme matematik

Definisi rasmi masa wajar melibatkan pemerian laluan melalui ruang masa yang mewakili sebuah jam, pemerhati, atau zarah ujian, dan struktur metrik ruang masa tersebut. Masa wajar merupakan kepanjangan arka pseudo-Riemannan bagi garis-garis dunia dalam ruang masa empat dimensi.

Dari sudut pandangan matematik, masa koordinat dianggap sudah sedia ditentukan, malah kita memerlukan ungkapan untuk masa wajar sebagai fungsi masa koordinat. Dari sudut pandangna eksperimentasi pula, masa wajar adalah sesuatu yang diukur dengan ujikaji, kemudian masa koordinat dihitung dari masa wajar beberapa jam yang inersia.

Dalam kerelatifan khas

Dalam kerelatifan khas, masa wajar boleh ditakrifkan seperti berikut:

\tau =\int {\frac {dt}{\gamma }}=\int {\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}\,dt=\int {\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}\,dt,

yang mana $v(t)$ adalah kelajuan koordinat pada masa koordinat $t$ , sementara $x$ , $y$ , dan $z$ merupakan koordinat ruang cartesan.

Jika ketiga-tiga $t$ , $x$ , $y$ , dan $z$ diparameterkan oleh parameter $λ$ , maka ini boleh dirumuskan seperti berikut:

\tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .

Dalam bentuk kebezaan, ia boleh ditulis sebagai kamiran garis seperti berikut:

\tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}},

yang mana $P$ merupakan laluan jam dalam ruang masa.

Untuk mempermudahnya lagi, dalam ilmu kerelatifan khas, pergerakan inersia adalah di mana koordinat-koordinat ruang bertukar pada kadar yang nalar seiringan dengan koordinat temporal. Maka persamaan masa wajar diringkaskan lagi kepada yang berikut:

\Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},

yang mana Δ bermaksud "perubahan" di antara dua peristiwa.

Persamaan-persamaan kerelatifan khas merupakan kes-kes istimewa bagi kes umum yang menyusul.

Dalam kerelatifan am

Dengan menggunakan kalkulus tensor, masa wajar diberi takrifan yang lebih ketat dalam ilmu kerelatifan am seperti berikut: Untuk ruang masa yang merupakan manifold Riemannan palsu yang dipetakan dengan sistem koordinat $x^{\mu }$ dan dilengkapi dengan tensor metrik $g_{\mu \nu }$ yang berpadanan, maka masa wajar $\tau \$ yang dialami dalam pergerakan antara dua peristiwa di sepanjang laluan seakan masa P dihitung dengan kamiran garis yang berikut:

\tau =\int _{P}\,d\tau

yang mana

d\tau ={\sqrt {dx_{\mu }\;dx^{\mu }}}={\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.

(Perhatian: kelaziman hasil tambah Einstein digunakan untuk rumus-rumus di atas. Ungkapan A_μB^μ adalah singkatan untuk A₀B⁰ + A₁B¹ + A₂B² + A₃B³, manakala μ dalam B^μ menandakan indeks, bukan kuasa.)

Rujukan

^ Minkowski, Hermann (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, m/s. 53–111, diarkibkan daripada yang asal pada 2012-07-08, dicapai pada 2014-04-17

[1] Minkowski, Hermann (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, m/s. 53–111, diarkibkan daripada yang asal pada 2012-07-08, dicapai pada 2014-04-17

[1]

l b s Ukuran dan piawaian waktu
Subjek utama	Masa Kronometri Turutan magnitud Metrologi
Piawaian antarabangsa	UTC Ofset UTC UT ΔT DUT1 IERS ISO 31-1 ISO 8601 Jam 12 jam Jam 24 jam Saat lompat TAI Waktu awam Waktu Bumi Waktu jimat siang Waktu Koordinat Geopusat Waktu Koordinat Baripusat Waktu suria Garisan Tarikh Antarabangsa Zon waktu
Piawaian lampau	Waktu Dinamik Baripusat Waktu efemeris Waktu Min Greenwich Meridian Perdana
Masa dalam fizik	Dekad kosmologi Dilasi masa Dilasi masa graviti Domain masa Epok Planck Kronon Masa dan ruang mutlak Masa diskret dan masa selanjar Masa Planck Masa wajar Ruang-masa Simetri T Teori kerelatifan Waktu koordinat Waktu selanjar
Horologi	Jam Astrarium Jam air Jam atom Jam matahari Jam pasir Jam pasir marin Jam radio Jam tangan Komplikasi Kronometer marin Sejarah jam Persamaan masa
Takwim	Astronomi Epak Ekuinoks Interkalasi Minggu tujuh hari Solstis Tahun lompat Qamari Qamari-suria Suria Gregorius Ibrani Islam Julius
Kaji purba dan kaji bumi	Kaedah tentu umur Skala masa geologi Suruhanjaya Stratigrafi Antarabangsa
Kronologi astronomi	Liukan Masa ikut bintang Skala masa nuklear Tahun galaksi
Unit masa	Saat Minit Jam Hari Minggu Bulan Tahun Dekad Abad Alaf
Topik berkaitan	Kronologi Kronometri mental Nilai masa wang Penjaga masa Waktu metrik Waktu sistem Tempoh