Nombor nisbah - Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas

Nombor nisbah ialah sebarang nombor nyata yang boleh ditulis sebagai suatu nisbah atau pecahan. Suatu nombor nisbah $q$ boleh ditulis dalam bentuk a:b dimana a dan b adalah suatu integer dengan satu syarat bahawa penyebut tersebut tidak boleh sama dengan 0.

Sebagai contoh, 2/3 adalah nombor nisbah kerana pengangka dan penyebutnya adalah integer.

Perkataan 'nisbah' datang daripada perkataan bahasa Arab نِسْبَة (nisba)^[1] yang digunakan dalam konteks gramatis dan kewangan.

Definisi

Set bagi semua nombor nisbah ditandai dengan simbol blackboard $\mathbb {Q}$ ditakrifkan sebagai;

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\,|\,\,a,b\in \mathbb {Z} \,\,\mathrm {dan} \,\,b\neq 0\right\}

di mana $\mathbb {Z}$ ialah set bagi semua integer.

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Nombor asli $\mathbb {N}$ Nombor negatif $\mathbb {Z} ^{-}$ Integer $\mathbb {Z}$ Nombor nisbah $\mathbb {Q}$ Nombor bukan nisbah $\mathbb {Q} '$ Nombor nyata $\mathbb {R}$ Nombor khayalan $\mathbb {I}$ Nombor kompleks $\mathbb {C}$ Nombor algebra ${\overline {\mathbb {Q} }}$ Nombor transenden $\mathbb {T}$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $\mathbb {H}$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $\mathbb {O}$ Sedenion $\mathbb {S}$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah $\mathbb {R} ^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal $\aleph _{n}$ Nombor perdana $\mathbb {P}$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik $x$ Nombor besar Pi $\pi$ Nombor Euler $e$ Unit khayalan $i$ Ketakterhinggaan $\infty$

Nombor yang tidak boleh diwakili dalam bentuk dikenali sebgai nombor bukan nisbah. Set untuk nombor-nombor itu ditandai dengan pelengkap bagi $\mathbb {Q}$ , iaitu $\mathbb {Q} '$ . Antara contoh nombor tidak nisbah adalah ${\sqrt {2}}$ , $e$ dan $\mathrm {ln} (3)$ .

Sifat

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ; Set nombor nisbah adalah subset bagi set nombor nyata.
$\mathbb {Q} \,\cup \mathbb {Q} ^{'}=\mathbb {R}$ ; Kesatuan set nombor nisbah dan set nombor bukan nisbah adalah set nombor nyata.

Aritmetik

Berikut merupakan nombor nisbah $a/b$ dan $c/d$ dimana $a$ , $b$ , $c$ dan $d$ adalah integer, melalui operasi aritmetik.

Persamaan

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ jika dan hanya jika $ad=bc$

Pendaraban dan pembahagian

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ (1), $bd\neq 0$

Hasil darab $ac$ dan $bd$ adalah integer kerana pendaraban antara dua integer akan menghasilkan suatu integer. Sebab $ac$ dan $bd$ adalah integer, maka $ab/cd$ adalah nombor nisbah mengikut definisi nombor nisbah.

$\therefore {\frac {ac}{bd}}\in \mathbb {Q}$

Ini menunjukkan hasil darab dua nombor nisbah akan menghasilkan suatu nombor nisbah. Dalam kes pembahagian pula, kita dapat;

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {{\bigl (}{\frac {a}{b}}{\bigr )}}{{\bigl (}{\frac {c}{d}}{\bigr )}}}={\frac {ad}{bc}}$ (2), $bc\neq 0$

Seperti kesimpulan dengan persamaan (1), sebab $ad$ dan $bc$ adalah integer. Maka, $ad/bc$ adalah nombor nisbah.

$\therefore {\frac {ad}{bc}}\in \mathbb {Q}$

Ini menyimpulkan bahawa pembahagian antara dua nombor nisbah masih akan menghasilkan suatu nombor nisbah.

Penambahan dan penolakan

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}$ (3)

Dari persamaan (3), didapati bahawa $ad$ , $bc$ dan $bd$ ialah integer. Berikutan daripada itu, $ad\pm dc$ juga adalah integer kerana penambahan atau penolakan antara dua integer akan menghasilkan suatu integer. Sebab $ad\pm dc$ dan $bd$ adalah integer. Maka, $(ad\pm dc)/bd$ adalah nombor nisbah mengikut definisi nombor nisbah.

$\therefore {\frac {ad\pm bc}{bd}}\in \mathbb {Q}$

Penambahan dan penolakan dua nombor nisbah akan menghasilkan suatu nombor nisbah.

Songsangan

${\Bigr (}{\frac {a}{b}}{\Bigr )}^{-1}={\frac {b}{a}}$ (4), $a\neq 0$

$b$ dan $a$ ialah integer. Maka, $b/a$ adalah nombor nisbah. Hasil ini boleh digeneralisasikan kepada:

${\Bigr (}{\frac {a}{b}}{\Bigr )}^{-n}={\Bigr (}{\frac {b}{a}}{\Bigr )}^{n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}$ (5), $a\neq 0$

dimana $n\in \mathbb {Z}$ .

Punca kuasa

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ (7)

Hasil tersebut menunjukkan punca kuasa dua bagi $a/b$ adalah nombor nisbah jika $a$ dan $b$ adalah kuasa dua sempurna. Ini boleh digeneralisasikan kepada:

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ (8)

dimana $n\in \mathbb {Z}$ .

Fungsi nisbah

Fungsi nisbah ialah nisbah bagi dua fungsi polinomial dimana polinomial penyebut bukan 0.

$R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

Rujukan

^ "Penelitian kosakata bahasa Arab dalam bahasa Indonesia | WorldCat.org". search.worldcat.org (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2025-07-01.

[1] "Penelitian kosakata bahasa Arab dalam bahasa Indonesia | WorldCat.org". search.worldcat.org (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2025-07-01.

[1]